椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左右焦点分别为 ${F_1},{F_2}$，若椭圆 $C$ 上恰好有 $6$ 个不同的点 $P$，使得 $\triangle {F_1}{F_2}P$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
稍加探索后可以知道 $6$ 个点是怎么来的（分两类，如图）．
进而列式：$$a-c<2c<a+c,$$从而有$$\dfrac 13<e<1.$$再考虑两类点不能有重合，于是$$2c\neq a,$$即$$e\neq \dfrac 12.$$综上，离心率 $e$ 的取值范围是 $\left( {\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2},1} \right)$．
进而列式：$$a-c<2c<a+c,$$从而有$$\dfrac 13<e<1.$$再考虑两类点不能有重合，于是$$2c\neq a,$$即$$e\neq \dfrac 12.$$综上，离心率 $e$ 的取值范围是 $\left( {\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2},1} \right)$．
题目
答案
解析
备注
