如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BC=2$，$\angle B=45^\circ$，$AD=\sqrt 3 AC$，$\angle DAC=2\angle ACB$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $CD$ 的最小值；标注答案$\sqrt 2$解析以 $B$ 为坐标原点，$BC$ 为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系，则 $C(2,0)$，设 $A(a,a)$，则 $D\left(2\sqrt 3-\sqrt 3a+a,\sqrt 3a+a\right)$，因此 $D$ 点的轨迹方程为\[l:y=\left(\sqrt 3+1\right)\cdot \dfrac{2\sqrt 3-x}{\sqrt 3-1},\]也即\[x+\left(2-\sqrt 3\right)y-2\sqrt 3=0,\]因此 $CD$ 的最小值为 $C$ 到 $l$ 的距离\[d=\dfrac{|2-2\sqrt 3|}{\sqrt{1+(2-\sqrt 3)^2}}=\sqrt 2.\]
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求 $\tan \angle D$ 的最大值．标注答案$\dfrac{\sqrt 2}{2}$解析直线 $DA$ 到 $DC$ 的角的正切\[\begin{split}\tan \angle D&=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3a+a}{2\sqrt 3-\sqrt 3a+a-2}-\dfrac{a}{2-a}}{1+\dfrac{\sqrt 3a+a}{2\sqrt 3-\sqrt 3a+a-2}\cdot \dfrac{a}{2-a}}\\
&=\dfrac{2a-a^2}{2\left(\sqrt 3-1\right)+2\left(1-\sqrt 3\right)a+\sqrt 3a^2},\end{split}\]设代数式的值为 $t$，则\[\left(\sqrt 3t+1\right)a^2+\left(2t-2t\sqrt 3-2\right)a+2t\left(\sqrt 3-1\right)=0,\]其判别式\[\Delta=1-2t^2\geqslant 0,\]于是 $t$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，当 $a=1+\sqrt 2-\sqrt 3$ 时取得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
