已知 $f(x)=\dfrac{\ln^2x+a\ln x+a}{x}$ 在 $x={\rm e}$ 处的切线与直线 $2x+{\rm e}^2y=0$ 平行，$a\in \mathbb R$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案略解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=-\dfrac{\ln x(a-2+\ln x)}{x^2},\]于是\[f'({\rm e})=-\dfrac{a-1}{{\rm e}^2},\]于是 $a=3$．
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求证：$\dfrac{f(x)}{x}\geqslant \dfrac{a}{{\rm e}^{x-1}}$．标注答案略解析设函数\[g(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}\left(\ln ^2x+3\ln x+3\right)}{x^2},\]则其导函数\[g'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x^3}\cdot \left[3(x-1)+\ln x\cdot \left(3x-4+(x-2)\ln x\right)\right],\]设函数\[h(x)=3(x-1)+\ln x\cdot \left(3x-4+(x-2)\ln x\right),\]则其导函数\[h'(x)=\ln^2x+5\ln x+6-4\cdot \dfrac{\ln x+1}{x}.\]接下来我们证明\[x^2+5x+6-4\cdot \dfrac{x+1}{{\rm e}^x}>0,\]考虑函数\[\varphi(x)={\rm e}^x\cdot \dfrac{x^2+5x+6}{x+1},\]也即\[\varphi(x)={\rm e}^x\cdot \left(x+4+\dfrac{2}{x+1}\right).\]当 $x<-1$ 时，有\[\varphi(x)<{\rm e}^{-1}\cdot (3-2\sqrt 2)<4.\]当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)>{\rm e}^x\left(3+\dfrac 2{x+1}\right),\]记右侧函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{(1+x)^2}\cdot \left(3x^2+8x+3\right),\]于是\[\mu(x)\geqslant\mu\left(\dfrac{-4+\sqrt 7}3\right)=\left(4+\sqrt 7\right){\rm e}^{\frac 13(-4+\sqrt 7)}>\dfrac{4+\sqrt 7}{\sqrt {\rm e}}>4,\]因此有 $\varphi(x)>4$．
这样我们就得到了\[\forall x>0,h'(x)>0,\]于是 $g(x)$ 的极小值，亦为最小值为 $g(1)=3$，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
