已知 $a,b,c\in [1,2]$，求 $f(a,b,c)=\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca+\dfrac ba+\dfrac cb+\dfrac ac$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[6,7]$
【解析】
显然当 $a=b=c$ 时，根据均值不等式，有\[f(a,b,c)\geqslant 6,\]因此 $f(a,b,c)$ 的最小值为 $6$．难点在于如何求出最大值．
不妨设 $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$，则\[f(a,b,c)=\dfrac ab+\dfrac ba+\dfrac{a+b}{c}+\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)c,\]将其视为关于 $c$ 的函数，考虑到\[\sqrt{\dfrac{a+b}{\dfrac 1a+\dfrac 1b}}=\sqrt{ab},\]而\[\sqrt{ab}\leqslant b\leqslant c\leqslant 2,\]于是该关于 $c$ 的函数在 $[b,2]$ 上单调递增．类似的，有\[f(a,b,c)=\dfrac bc+\dfrac cb+\dfrac{b+c}a+\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)a,\]视其为关于 $a$ 的函数，那么该函数在 $[1,b]$ 上单调递减．这样我们就有当 $f(a,b,c)$ 在 $a=1$，$c=2$ 时取得最大值，此时\[f(1,b,2)=\dfrac 52+\dfrac 3b+\dfrac {3b}2,\]该关于 $b$ 的函数的最大值在端点处取得，又\[f(1,1,2)=f(1,2,2)=7,\]于是 $f(a,b,c)$ 的最大值为 $7$．
考虑到连续性，$f(a,b,c)$ 的取值范围是 $[6,7]$．
不妨设 $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$，则\[f(a,b,c)=\dfrac ab+\dfrac ba+\dfrac{a+b}{c}+\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)c,\]将其视为关于 $c$ 的函数，考虑到\[\sqrt{\dfrac{a+b}{\dfrac 1a+\dfrac 1b}}=\sqrt{ab},\]而\[\sqrt{ab}\leqslant b\leqslant c\leqslant 2,\]于是该关于 $c$ 的函数在 $[b,2]$ 上单调递增．类似的，有\[f(a,b,c)=\dfrac bc+\dfrac cb+\dfrac{b+c}a+\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)a,\]视其为关于 $a$ 的函数，那么该函数在 $[1,b]$ 上单调递减．这样我们就有当 $f(a,b,c)$ 在 $a=1$，$c=2$ 时取得最大值，此时\[f(1,b,2)=\dfrac 52+\dfrac 3b+\dfrac {3b}2,\]该关于 $b$ 的函数的最大值在端点处取得，又\[f(1,1,2)=f(1,2,2)=7,\]于是 $f(a,b,c)$ 的最大值为 $7$．
考虑到连续性，$f(a,b,c)$ 的取值范围是 $[6,7]$．
答案
解析
备注
