已知函数 $f(x)=x^2-2(m+1)x+2m\ln x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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记函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 内的最小值为 $g(m)$，求函数 $g(m)$ 的解析式；标注答案$g(m)=\begin{cases} 2m-1,&0<m\leqslant 1,\\ -m^2-2m+2m\ln m,&m>1.\end{cases}$解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x-m)}{x}.\]
情形一 $0<m\leqslant 1$．此时 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 单调递增，于是\[g(m)=f(1)=-2m-1.\]情形二 $m>1$．此时\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&[1,m)&m&(m+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\min &\nearrow \\ \hline\end{array}\]于是\[g(m)=f(m)=-m^2-2m+2m\ln m.\]综上所述，函数 $g(m)$ 的解析式为\[g(m)=\begin{cases} 2m-1,&0<m\leqslant 1,\\ -m^2-2m+2m\ln m,&m>1.\end{cases}\] -
对任意的 $m\in[2,3]$，$x_1,x_2\in [1,2]$，恒有 $x_1x_2f(x_1)-x_1x_2f(x_2)\leqslant t|x_1-x_2|$（$t>0$），求实数 $t$ 的取值范围．标注答案$[4,+\infty)$解析根据题意，对任意 $2\leqslant m\leqslant 3$，$1\leqslant x_1<x_2\leqslant 2$，恒有\[t\geqslant x_1x_2\cdot \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_2-x_1}.\]记不等式右侧为 $h(x_1,x_2)$，则\[\begin{split} h(x_1,x_2)&=-x_1x_2\cdot\left[(x_1+x_2)+2m\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}-2(m+1)\right]\\
&<-x_1x_2\cdot \left[(x_1+x_2)+2m\cdot \dfrac{2}{x_1+x_2}-2(m+1)\right]\\
&=-x_1x_2\cdot \left[(x_1+x_2)+\left(\dfrac{4}{x_1+x_2}-2\right)m-2\right]\\
&\leqslant -x_1x_2\cdot \left[(x_1+x_2)+\left(\dfrac{4}{x_1+x_2}-2\right)\cdot 3-2\right]\\
&=-x_1x_2\cdot\left[(x_1+x_2)+\dfrac{12}{x_1+x_2}-8\right]\\
&\leqslant 4,\end{split}\]于是当 $t\geqslant 4$ 时符合题意．下面证明 $t<4$ 时不符合题意．考虑到当 $m=3$，$x_2=2$ 时有\[\begin{split} h(x_1,x_2)&=-2x_1\cdot \left(x_1+6\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln 2}{x_1-2}-6\right)\\
&>-2x_1\cdot \left(x_1+\dfrac{6}{\sqrt{2x_1}}-6\right)\\
&=-2x_1^2+12x_1-6\sqrt {2x_1}\\
&\geqslant 12x_1-20,\end{split}\]于是当 $x_1\in \left(\dfrac{20+t}{12},2\right)$ 时，不符合题意．
综上所述，实数 $t$ 的取值范围是 $[4,+\infty)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
