题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}(a_n+2)=a_n^2+2a_n+3$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 问题1 求证：$a_{n+1}>a_n$； 答案1 略 解析1 根据题意，有\[a_{n+1}=a_n+\dfrac{3}{a_n+2},\]显然 $a_n>0$，于是 $a_{n+1}>a_n$，命题得证． 备注1 问题2 求证：$\sqrt{6n+3}-2\leqslant a_n\leqslant \sqrt{7n+2}-2$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[a_{n+1}+2=a_n+2+\dfrac{3}{a_n+2},\]令 $b_n=a_n+2$，则\[b_{n+1}^2=b_n^2+6+\dfrac{9}{b_n^2},\]于是\[b_{n+1}^2-b_n^2>6,\]从而\[b_n^2\geqslant 6(n-1)+b_1^2,\]因此\[b_n\geqslant\sqrt{6n+3},\]进而可得\[b_{n+1}^2-b_n^2\leqslant 6+\dfrac{9}{6n+3}\leqslant 7,\]于是\[b_n^2\leqslant 7(n-1)+b_1^2,\]因此\[b_n\leqslant \sqrt{7n+2},\]因此命题得证． 备注2