题目 已知 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x\ln x}$． 问题1 若对任意 $x_1\in [2,4]$ 以及 $x_2\in (0,+\infty)$，均有 $f(x_1)\cdot x_1>\ln x_2-x_2-a$，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left(-1-\dfrac{3}{\ln 2},+\infty\right)$ 解析1 根据题意，有\[\forall x_1\in[2,4]\land x_2\in (0,+\infty),a>\ln x_2-x_2-\dfrac{x_1^2-1}{\ln x_1}.\]考虑函数\[g(x)=-\dfrac{x^2-1}{\ln x},\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{x}{\ln^2x}\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}+1+\ln\dfrac{1}{x^2}\right),\]当 $x\in [2,4]$ 时，有\[g'(x)<0,\]于是 $g(x)$ 单调递增，从而\[-\dfrac{x_1^2-1}{\ln x_1}\leqslant g(2)=-\dfrac{3}{\ln 2},\]而\[\ln x_2-x_2\leqslant -1,\]因此右侧代数式\[\varphi(x_1,x_2)\leqslant -1-\dfrac{3}{\ln 2},\]等号当且仅当 $x_1=1$，$x_2=2$ 时取得．从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-1-\dfrac{3}{\ln 2},+\infty\right)$． 备注1 问题2 判断 $f(x)$ 的单调性． 答案2 函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增 解析2 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1+x^2}{2x^2\ln^2}\cdot\left(\ln x^2+2\cdot \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right),\]考虑到 $\ln x$ 的进阶放缩，于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增． 备注2