题目 已知函数 $f(x)=\ln (ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}$，$x\geqslant 0$，$a>0$． 问题1 若 $f(x)$ 的最小值为 $1$，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $[2,+\infty)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{ax^2+a-2}{(ax+1)(1+x)^2}.$$注意到 $f(0)=1$，因此 $f'(0)\geqslant 0$，从而 $a\geqslant 2$，否则在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{2-a}a}\right)$ 上，$f(x)$ 单调递减，又 $f(0)=1$，不符合题意．<br/>当 $a\geqslant 2$ 时，有 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 的最小值为 $\ln 2$，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\{1\}$ 解析2 根据题意，有$$\forall x> 0,a\geqslant \dfrac{2{\rm e}^{\frac{x-1}{x+1}}-1}x,$$且等号可以取得．设右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{1-{\rm e}^{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \left[1+\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2\right]}{x^2},$$令 $t=\dfrac{x-1}{x+1}$，则 $t\in [-1,1)$，设 $\mu (t)={\rm e}^t(1+t^2)$，则其导函数$$\mu'(t)={\rm e}^t\left(t+1\right)^2\geqslant 0,$$于是 $\mu(t)$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增，结合 $\mu (0)=1$，可得 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增（因为 $x\in(0,1)$ 时，$t\in(-1,0)$，从而有 $\mu(t)<\mu(0)=1$，所以 $\varphi'(x)>0$），在 $(1,+\infty)$ 上单调递减（因为 $x\in(1,+\infty)$ 时，$t\in(0,1)$，从而有 $\mu(t)>\mu(0)=1$，所以 $\varphi'(x)<0$），且有极大值，亦最大值 $\varphi(1)=1$．因此 $a$ 的取值范围为 $\{1\}$． 备注2 每日一题[639]一数之差．