已知函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}(x\geqslant0)$ 的最小值为 $\ln 2$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{1\}$
【解析】
显然 $a\leqslant0$ 不符合题意，从而 $a>0$．
因为$$f'(x)=\dfrac {ax^2+a-2}{(ax+1)(1+x)^2},$$所以设 $h(x)=ax^2+a-2$，显然 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
情形一 当 $ h(0)=a-2\geqslant0 $，即 $ a\geqslant2 $ 时，$ f(x)$ 在 $ [0,+\infty)$ 上单调递增，所以$$ f_{min}(x)= f(0)=1 ,$$不符合题意．
情形二 当 $ h(0)<0 $，即 $ 0<a<2 $ 时，$ f(x)$ 在 $ x=\sqrt{\dfrac{2-a}{a}} $ 处取得极小值，所以$$ \min\{f(x)\}=f\left(\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}\right)=\ln(\sqrt{a(2-a)}+1)+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{2-a}}{\sqrt{a}+\sqrt{2-a}},$$令 $ t=\sqrt{a(2-a)} $，则 $ 0<t\leqslant1 $．
① 当 $ 0<a<1 $ 时，$$ \min\{f(x)\}=ln(t+1)-\dfrac{\sqrt{2-2t}}{\sqrt{2+2t}}<\ln(t+1)\leqslant\ln2,$$不符合题意；
② 当 $ a\geqslant1 $ 时，$$ \min\{f(x)\}=ln(t+1)-\dfrac{\sqrt{2-2t}}{\sqrt{2+2t}}=\ln(t+1)+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}},$$设 $ r(t)=\ln(t+1)+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}(0<t\leqslant1)$，则$$ r'(t)=\dfrac{1}{t+1}\left[1-\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}}+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}\right)\right]\leqslant0,$$所以 $ r(t)$ 在 $(0,1] $ 上单调递减，于是 $ r(t)\geqslant r(1)=\ln2 $，当且仅当 $ t=1 $，即 $ a=1 $ 时取得等号，符合题意．
综上，$ a $ 的取值范围为 $ \{1\}$．
因为$$f'(x)=\dfrac {ax^2+a-2}{(ax+1)(1+x)^2},$$所以设 $h(x)=ax^2+a-2$，显然 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
① 当 $ 0<a<1 $ 时，$$ \min\{f(x)\}=ln(t+1)-\dfrac{\sqrt{2-2t}}{\sqrt{2+2t}}<\ln(t+1)\leqslant\ln2,$$不符合题意；
② 当 $ a\geqslant1 $ 时，$$ \min\{f(x)\}=ln(t+1)-\dfrac{\sqrt{2-2t}}{\sqrt{2+2t}}=\ln(t+1)+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}},$$设 $ r(t)=\ln(t+1)+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}(0<t\leqslant1)$，则$$ r'(t)=\dfrac{1}{t+1}\left[1-\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}}+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}\right)\right]\leqslant0,$$所以 $ r(t)$ 在 $(0,1] $ 上单调递减，于是 $ r(t)\geqslant r(1)=\ln2 $，当且仅当 $ t=1 $，即 $ a=1 $ 时取得等号，符合题意．
综上，$ a $ 的取值范围为 $ \{1\}$．
答案
解析
备注
