题目 设 $b > 0$，数列 $\left\{{a_n}\right\} $ 满足 ${a_1} = b $，${a_n} = \dfrac{{nb{a_{n - 1}}}}{{{a_{n - 1}} + n - 1}}\left( {n \geqslant 2} \right)$． 问题1 求数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\begin{cases} 1,&b=1,\\ \dfrac{(1-b)b^n\cdot n}{1-b^n},&b\in (0,1)\cup(1,+\infty).\end{cases}$ 解析1 根据题意，有\[b\cdot \dfrac{n}{a_n}=1+\dfrac{n-1}{a_{n-1}},\]也即\[b^n\cdot \dfrac{n}{a_n}=b^{n-1}+b^{n-1}\cdot \dfrac{n-1}{a_{n-1}},\]因此\[b^n\cdot \dfrac{n}{a_n}=\sum_{k=0}^{n-1}b^k=\begin{cases} bn, &b=1,\\ \dfrac{1-b^n}{1-b},&b\ne 1\end{cases}\]从而\[a_n=\begin{cases} 1,&b=1,\\ \dfrac{(1-b)b^n\cdot n}{1-b^n},&b\in (0,1)\cup(1,+\infty).\end{cases}\] 备注1 问题2 证明：对于一切正整数 $n $，$2{a_n} \leqslant {b^{n + 1}} + 1$． 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，欲证不等式即\[\dfrac{b^n\cdot 2n}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}b^k}\leqslant b^{n+1}+1,\]也即\[b^n\cdot 2n\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}b^k+\sum_{k=n+1}^{2n}b^k,\]也即\[\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{b^k}+\sum_{k=1}^{n}b^k\geqslant 2n,\]根据均值不等式，该命题成立，因此原不等式得证． 备注2