设 $b>0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=b$，$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
【难度】
【出处】
2011年高考广东卷（理）
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\begin{cases} 2,&b=2,\\ \dfrac{(2-b)\cdot b^n\cdot n}{2^n-b^n},&b\in (0,2)\cup(2,+\infty),\end{cases}$解析根据题意，有\[\dfrac b2\cdot \dfrac{n}{a_n}=\dfrac 12+\dfrac{n-1}{a_{n-1}},\]也即\[\left(\dfrac b2\right)^n\cdot \dfrac{n}{a_n}=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac b2\right)^{n-1}+\left(\dfrac b2\right)^{n-1}\cdot \dfrac{n-1}{a_{n-1}},\]因此\[\left(\dfrac b2\right)^n\cdot \dfrac{n}{a_n}=\dfrac 12\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac b2\right)^k=\begin{cases} \dfrac 12n, &b=2,\\ \dfrac 12\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac b2\right)^n}{1-\dfrac b2},&b\ne 1\end{cases}\]从而\[a_n=\begin{cases} 2,&b=2,\\ \dfrac{2\left(1-\dfrac b2\right)\cdot \left(\dfrac b2\right)^n\cdot n}{1-\left(\dfrac b2\right)^n},&b\in (0,2)\cup(2,+\infty),\end{cases}\]也即\[a_n=\begin{cases} 2,&b=2,\\ \dfrac{(2-b)\cdot b^n\cdot n}{2^n-b^n},&b\in (0,2)\cup(2,+\infty),\end{cases}\]
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证明：对于一切正整数 $n$，$a_n\leqslant \dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}} +1$．标注答案略解析根据第 $(1)$ 小题的结果，欲证不等式即\[\dfrac{c^n\cdot 2n}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}c^k}\leqslant c^{n+1}+1,\]其中 $c=\dfrac b2$，该不等式也即\[c^n\cdot 2n\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}c^k+\sum_{k=n+1}^{2n}c^k,\]也即\[\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{c^k}+\sum_{k=1}^{n}c^k\geqslant 2n,\]根据均值不等式，该命题成立，因此原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
