已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A$，右顶点为 $B$，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的动点，直线 $AP$，$BP$ 与直线 $y=t$（$t>b$）分别交于 $G,H$ 两点．求线段 $GH$ 的长度的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2at}b-2a$
【解析】
根据双曲线的垂径定理，直线 $PA$ 和 $PB$ 的斜率之积为 $-\dfrac {b^2}{a^2}$，于是设\[\begin{split} PA&:x=\dfrac{am}{b}y-a,\\ PB&:x=-\dfrac{a}{bm}y+a,\end{split}\]其中 $m>0$，因此\[\begin{split} GH&=\left(\dfrac{amt}{b}-a\right)-\left(-\dfrac{at}{bm}+a\right)\\
&=\dfrac{at}b\cdot\left(m+\dfrac 1m\right)-2a\\
&\geqslant\dfrac{2at}b-2a,\end{split}\]等号当 $m=1$ 时取得，因此所求线段长度的最小值为 $\dfrac{2at}b-2a$．
&=\dfrac{at}b\cdot\left(m+\dfrac 1m\right)-2a\\
&\geqslant\dfrac{2at}b-2a,\end{split}\]等号当 $m=1$ 时取得，因此所求线段长度的最小值为 $\dfrac{2at}b-2a$．
答案
解析
备注
