已知 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，延长 $AO$ 交 $BC$ 于 $D$，记 $\dfrac{DB}{DC}=\lambda$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$\lambda =\dfrac{(a^2+b^2-c^2)c^2}{(a^2+c^2-b^2)b^2}$；标注答案略解析根据三角形外心的向量表示，可得\[\begin{split}\dfrac{DB}{DC}&=\dfrac{\sin 2C}{\sin 2B}\\
&=\dfrac{\sin C}{\sin B}\cdot \dfrac{\cos C}{\cos B}\\
&=\dfrac cb\cdot \dfrac{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\\
&=\dfrac{(a^2+b^2-c^2)c^2}{(a^2+c^2-b^2)b^2},\end{split}\]于是命题得证． -
当 $AB=BC$ 时，用 $\lambda$ 表示 $\dfrac{AB}{AC}$；标注答案$\sqrt{2-\lambda}$解析此时 $a=c$，于是\[\dfrac{AB}{AC}=\dfrac cb=\sqrt{2-\lambda}.\]
-
当 $AC=CD$ 时，用 $\lambda$ 表示 $\dfrac{AB}{AC}$．标注答案$\sqrt{2+\lambda}$解析此时 $DC=b$，于是\[\dfrac{AB}{AC}=\dfrac cb=\sqrt{2+\lambda}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
