题目 已知 $ a $ 为正实数，$ n $ 为自然数，抛物线 $ y=-x^2+{\dfrac{a^n}{2}} $ 与 $ x $ 轴正半轴相交于点 $ A $．设 $ f\left(n\right) $ 为该抛物线在点 $ A $ 处的切线在 $ y $ 轴上的截距． 问题1 用 $ a $ 和 $ n $ 表示 $ f\left(n\right) $； 答案1 $f(n)=a^n$ 解析1 根据题意 $A\left(\sqrt{\dfrac{a^n}2},0\right)$，于是切线方程为\[y=-\sqrt{2a^n}\cdot x+a^n,\]于是 $f(n)=a^n$． 备注1 问题2 求对所有 $ n $ 都有 $ {\dfrac{f\left(n\right)-1}{f\left(n\right)+1}}\geqslant {\dfrac{n}{n+1}} $ 成立的 $ a $ 的最小值； 答案2 $3$ 解析2 $n=0$ 时，不等式成立；$n>0$ 时，根据题意，有$$\forall n\in\mathbb N^{\ast},a^n\geqslant 2n+1.$$令 $n=1$，可得\[a\geqslant 3,\]而当 $a=3$，$n\geqslant 2$ 时，有\[a^n=(1+2)^n>1+2n,\]因此 $a$ 的最小值为 $3$． 备注2 问题3 当 $ 0<a<1 $ 时，比较 $ {\dfrac{1}{f\left(1\right)-f\left(2\right)}}+{\dfrac{1}{f\left(2\right)-f\left(4\right)}}+\cdots+{\dfrac{1}{f\left(n\right)-f\left(2n\right)}}$ 与 $6\cdot {\dfrac{f\left(1\right)-f\left(n+1\right)}{f\left(0\right)-f\left(1\right)}} $ 的大小，并说明理由． 答案3 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}>6\cdot \dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$ 解析3 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}>6\cdot \dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$，证明如下．<br/>根据题意，有$$LHS=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a^k-a^{2k}},$$而$$RHS=6\cdot \dfrac{a-a^n}{1-a}=6\sum_{k=1}^{n-1}a^k<6\sum_{k=1}^{n}a^k.$$接下来只需要证明$$\dfrac{1}{x-x^2}\geqslant 6x,0<x<1.$$事实上，由于当 $x\in (0,1)$ 时$$2x\cdot \left(x-x^2\right)=x\cdot x\cdot (2-2x)\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}<\dfrac 13,$$因此上述不等式成立，命题得证． 备注3