一种画椭圆的工具如图所示．$O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处的铰链与 $ON$ 连接，$MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$，$MN=3$．当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动，$M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$．以 $O$ 为原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$解析设 $N\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$，则 $D\left(2\cos\theta,0\right)$，于是由$$\overrightarrow{NM}=-\dfrac 32\overrightarrow{MD}$$得$$M\left(\dfrac{x_N-\frac 32x_D}{1-\frac 32},\frac{y_N-\frac 32y_D}{1-\frac 32}\right)=M\left(4\cos\theta,-2\sin\theta\right),$$于是可得曲线 $C$ 的方程为$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$$
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设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1:x-2y=0$ 和 $l_2:x+2y=0$ 分别交于 $P$，$Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．标注答案$\triangle OPQ$ 的面积存在最小值，为 $8$解析存在最小值，最小值为 $8$．证明如下：
在伸缩变换$$\begin{cases}x'=x,\\y'=2y,\end{cases}$$下，椭圆 $C$ 变为圆 $x'^2+y'^2=16$．而在变换后直线 $l_1'$ 和 $l_2'$ 则变为互相垂直的直线 $x'-y'=0$ 和 $x'+y'=0$，如图．
记切点 $T$ 变换后对应的点为 $T'$，则 $P'Q'$ 与圆相切于 $T'$，从而变换后的三角形 $OP'Q'$ 的面积\[\begin{split}S_{\triangle OP'Q'}&=\frac 12OT'\cdot P'Q'\\&=2\left(P'T'+Q'T'\right)\\&\geqslant 4\sqrt{P'T'\cdot Q'T'}\\&=16,\end{split}\]等号当 $P'T'=Q'T'$ 时取得．因此 $\triangle OPQ$ 的面积$$S_{\triangle OPQ}=\frac 12S_{\triangle OP'Q'}\geqslant 8,$$于是其最小值存在，且为 $8$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
