求函数 $f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x,x\in\mathbb R$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]$
【解析】
利用万能公式换元，记 $y=f(x)$，则\[y=\dfrac{2t}{t^2+1}\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}+\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac 25\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}=-\dfrac 25\cdot \dfrac{t^4-10t-1}{(t^2+1)^2},\]于是\[y'=-\dfrac 45\cdot \dfrac{(2t-1)(t^2+8t+5)}{(t^2+1)^3},\]因此极值点为\[t=\dfrac 12,-4\pm\sqrt {11},\]进而可得极值依次为\[\dfrac{38}{25},\dfrac{-76 \mp 11 \sqrt{11}}{100},\]因此所求值域为 $\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]$．
答案
解析
备注
