已知 $\forall x\in\mathbb R,ax^3+\dfrac 12x^2+x+1\leqslant {\rm e}^x$，求实数 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 16$
【解析】
考虑函数 $f(x)={\rm e}^{-x}\cdot\left(ax^3+\dfrac 12x^2+x+1\right)$．求导得$$f'(x)=x^2{\rm e}^{-x}\left(3a-\dfrac 12-ax\right).$$因为 $f(0)=1$，而 $f(x)\leqslant 1$，所以 $0$ 是 $f(x)$ 的最大值点，也是极大值点，从而有 $f'(0)=0$，解得 $a=\dfrac 16$．
答案
解析
备注
