已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ $\left(a > b > 0\right)$ 经过点 $\left(0,\sqrt 3 \right)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，左、右焦点分别为 ${F_1}\left( - c,0\right)$，${F_2}\left(c,0\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考陕西卷（文）
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$解析根据题意，$b=\sqrt 3$，又离心率 $e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac 12$，因此解得 $a=2$，所以椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
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若直线 $l:y = - \dfrac{1}{2}x + m$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，与以 ${F_1}{F_2}$ 为直径的圆交于 $C,D$ 两点，且满足 $\dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5\sqrt 3}{4}$，求直线 $l$ 的方程．标注答案$y=-\dfrac 12x\pm\dfrac{\sqrt 3}3$解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立直线 $l$ 与椭圆的方程可得$$x^2-mx+m^2-3=0,$$因此$$|AB|=\sqrt{1+\left(-\dfrac 12\right)^2}\cdot|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt 5}2\cdot\sqrt{12-3m^2},$$又根据垂径定理，可得$$|CD|=2\cdot\sqrt{1^2-\left(\dfrac{|m|}{\sqrt{1+\dfrac 14}}\right)^2}=2\cdot\sqrt{1-\dfrac{4m^2}5},$$由已知 $\dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5\sqrt 3}{4}$，可得$$\dfrac{\dfrac{\sqrt 5}2\cdot\sqrt{12-3m^2}}{2\cdot\sqrt{1-\dfrac{4m^2}5}}=\dfrac{5\sqrt 3}4,$$解得 $m=\pm\dfrac{\sqrt 3}3$，因此直线 $l$ 的方程为 $y=-\dfrac 12x\pm\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
