已知 $P$ 是椭圆 $C:x^{2}+3y^{2}=4$ 上一点，点 $B$ 与点 $A(-1,1)$ 关于原点 $O$ 对称．设直线 $AP$ 和 $BP$ 分别于直线 $x=3$ 交于点 $M,N$，问：是否存在点 $P$ 使得 $\triangle PAB$ 与 $\triangle PMN$ 的面积相等？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，$P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{5}{3},\pm\dfrac{\sqrt{33}}{9}\right)$
【解析】
设 $P$ 点坐标为 $P(x,y)$，$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PMN}$，则\[\dfrac{1}{2}\cdot \sin \angle APB\cdot PA\cdot PB=\dfrac{1}{2}\sin\angle MPN\cdot PM\cdot PN,\]即\[\dfrac{AP}{PM}\cdot \dfrac{BP}{PN}=1,\]于是有\[\dfrac{x-(-1)}{3-x}\cdot\dfrac{x-1}{3-x}=1,\]解得 $x=\dfrac{5}{3}$．而 $x^{2}+3y^{2}=4$，从而 $y=\pm \dfrac{\sqrt {33}}{9}$，于是点 $P\left(\dfrac{5}{3},\pm\dfrac{\sqrt{33}}{9}\right)$ 为所求．
答案
解析
备注
