已知 $P$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的下顶点，过 $P$ 作互相垂直的两条直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 $A,B$ 两点，直线 $l_2$ 与椭圆 $E$ 交于不同于 $P$ 的另外一点 $Q$，求 $\triangle QAB$ 面积的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right]$
【解析】
当 $AB$ 的斜率不存在时，$Q$ 不存在．设 $AB$ 的方程为 $y=kx-1$，于是点 $O$ 到 $AB$ 的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}$，从而有$$|AB|=2\sqrt{4-\dfrac 1{1+k^2}}.$$直线 $PQ$ 的方程为 $x+ky+k=0$，与椭圆方程联立消去 $y$ 解得 $x_Q=-\dfrac {8k}{k^2+4}$，于是$$|PQ|=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}|x_Q|=\dfrac {8\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}.$$对 $k=0$ 也成立．
于是 $\triangle QAB$ 的面积\begin{eqnarray*}\begin{split}S=&\dfrac 12|AB|\cdot|PQ|=\dfrac{8\sqrt{4k^2+3}}{k^2+4}=8\sqrt{\dfrac {4(k^2+4)-13}{(k^2+4)^2}}\\=&8\sqrt{-13\left(\dfrac {1}{k^2+4}-\dfrac{2}{13}\right)^2+\dfrac{4}{13}}\\\in&\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right].\end{split}\end{eqnarray*}即 $\triangle QAB$ 面积的取值范围是 $\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right]$．
于是 $\triangle QAB$ 的面积\begin{eqnarray*}\begin{split}S=&\dfrac 12|AB|\cdot|PQ|=\dfrac{8\sqrt{4k^2+3}}{k^2+4}=8\sqrt{\dfrac {4(k^2+4)-13}{(k^2+4)^2}}\\=&8\sqrt{-13\left(\dfrac {1}{k^2+4}-\dfrac{2}{13}\right)^2+\dfrac{4}{13}}\\\in&\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right].\end{split}\end{eqnarray*}即 $\triangle QAB$ 面积的取值范围是 $\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right]$．
答案
解析
备注
