已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 满足 ${S_n}=2a_n+(-1)^n$．证明：对任意的整数 $m>4$，有$$\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5}+\cdots+\dfrac{1}{a_m}<\dfrac{7}{8}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[a_n=\dfrac 23\cdot \left[2^{n-2}+(-1)^{n-1}\right],\]因此只要证明对任意的偶数 $m>4$，有$$\dfrac{1}{{{a_4}}}+\dfrac{1}{{{a_5}}}+\cdots+\dfrac{1}{{{a_m}}}<\dfrac{7}{8}.$$此时\[\begin{split} LHS&=\dfrac 1{a_4}+\left(\dfrac{1}{a_5}+\dfrac{1}{a_6}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{a_{m-1}}+\dfrac{1}{a_m}\right)\\
&<\dfrac 12+\dfrac 32\left(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}\right)+\cdots+\dfrac 32\left(\dfrac{1}{2^{m-3}}+\dfrac{1}{2^{m-2}}\right)\\
&=\dfrac 12+\dfrac 32\cdot \dfrac 14\cdot \left(1-\dfrac{1}{2^{m-4}}\right)\\
&<\dfrac 78,\end{split}\]因此原不等式得证．
&<\dfrac 12+\dfrac 32\left(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}\right)+\cdots+\dfrac 32\left(\dfrac{1}{2^{m-3}}+\dfrac{1}{2^{m-2}}\right)\\
&=\dfrac 12+\dfrac 32\cdot \dfrac 14\cdot \left(1-\dfrac{1}{2^{m-4}}\right)\\
&<\dfrac 78,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
