求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{3^k+(-2)^k}<\dfrac{7}{6}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到$$\dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n+1}}-{2^{n+1}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^n}-{2^n}}}}}<\dfrac{1}{3},$$考虑用等比放缩．\[\begin{split}\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{3^k}+{{\left( {-2} \right)}^k}}}} &= \dfrac{1}{{3+\left( {-2} \right)}}+\dfrac{1}{{{3^2}+{{\left( {-2} \right)}^2}}}+\sum\limits_{k=3}^n {\dfrac{1}{{{3^k}-{{\left( {-2} \right)}^k}}}} \\
&< 1+\dfrac{1}{{13}}+\sum\limits_{k=3}^n {\dfrac{1}{{{3^k}-{2^k}}}} \\
&<1+\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{{\dfrac{1}{{{3^3}-{2^3}}}}}{{1-\dfrac{1}{3}}}\\
&=1+\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{1}{{19}} \cdot \dfrac{3}{2}\\
&<\dfrac{7}{6}\end{split}\]于是原不等式得证．
&< 1+\dfrac{1}{{13}}+\sum\limits_{k=3}^n {\dfrac{1}{{{3^k}-{2^k}}}} \\
&<1+\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{{\dfrac{1}{{{3^3}-{2^3}}}}}{{1-\dfrac{1}{3}}}\\
&=1+\dfrac{1}{{13}}+\dfrac{1}{{19}} \cdot \dfrac{3}{2}\\
&<\dfrac{7}{6}\end{split}\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
