设 $f:(0,+\infty) \to \mathbb R$ 是一个连续函数．如果 $f$ 满足：对 $\forall x,y \in (0,+\infty)$，$\dfrac {f(\sqrt x)+f(\sqrt y)}{2}=f\left(\sqrt{\dfrac {x+y}{2}}\right)$ 成立，求证：$$\dfrac {f(\sqrt {x_1})+f(\sqrt {x_2})+\cdots+f(\sqrt {x_n})}{n}=f\left(\sqrt {\dfrac {x_1+x_2+\cdots+a_n}{n}}\right)$$对任给的正整数 $n$ 和任给的正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 成立．
【难度】
【出处】
2013年清华大学数学金秋营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=2$ 时，命题成立．假设命题对 $n$（$\geqslant 2$）成立．对于 $n+1$，记$$A_k=\dfrac {x_1+x_2+\cdots+a_k}{k}(k \in \mathbb N^{\ast}),$$则$$\begin{split} f(\sqrt {A_{n+1}})&=f\left(\sqrt{\dfrac {(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1}}{2n}}\right)\\&=f\left(\sqrt{\dfrac {A_n+\dfrac {x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}}{n}}{2}}\right)\\&= \dfrac 12 \left(f(\sqrt {A_n})+f\left(\sqrt {\dfrac {x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}}{n}}\right)\right)\\&= \dfrac 12 \left(\dfrac {f(\sqrt {x_1})+f(\sqrt {x_2})+\cdots+f(\sqrt {x_n})}{n}+\dfrac {f(\sqrt {x_{n+1}})+(n-1)f(\sqrt {A_{n+1}})}{n}\right)\end{split}$$化简得$$2nf(\sqrt {A_{n+1}})=f(\sqrt {x_{1}})+f(\sqrt {x_{2}})+\cdots+f(\sqrt {x_{n+1}})+(n-1)f(\sqrt {x_{n+1}}),$$即$$f(\sqrt {A_{n+1}})=\dfrac {f(\sqrt {x_1})+f(\sqrt {x_2})+\cdots+f(\sqrt {x_{n+1}})}{n+1}.$$由归纳原理可知，对所有正整数 $n \geqslant 2$ 命题成立．
答案
解析
备注
