如下定义一个数列 $\{a_n\}$：$$a_n \in \{0,1,2\} (\forall n \geqslant 1), a_n \equiv {\mathrm C}_{2n}^{n}(\mod 3).$$证明：$0.a_1a_2\cdots a_n \cdots $ 是一个无理数．
【难度】
【出处】
2013年清华大学数学金秋营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明：对于$$\dfrac {3^k+1}{2} \leqslant n \leqslant 3^k-1(k,n \in \mathbb N^{\ast}),$$有 $a_n=0$，即 $3\mid {\mathrm C}_{2n}^{n}$，只需证明$$\sum \limits_{i=1}^{k}\left[\dfrac {2n}{3^i}\right]>\sum \limits_{i=1}^{k}2\left[\dfrac {n}{3^i}\right].$$在 $3$ 进制下，$$(\underbrace{11\cdots 12}_{k\text{个}})_3 \leqslant n \leqslant (\underbrace{22 \cdots 2}_{k\text{个}})_3 .$$设 $n$ 的 $3$ 进制表示为 $(b_kb_{k-1}\cdots b_1)_3$，则 $n$ 的 $3$ 进制表示中至少有一个数字是 $2$，不妨设第 $r(1 \leqslant r \leqslant k)$ 位 $b_r=2$，则易知$$\left[\dfrac {2n}{3^r}\right]>2\left[\dfrac {n}{3^r}\right].$$显然$$\left[\dfrac {2n}{3^i}\right]>2\left[\dfrac {n}{3^i}\right].$$因此$$\sum \limits_{i=1}^{k}\left[\dfrac {2n}{3^i}\right]>\sum \limits_{i=1}^{k}2\left[\dfrac {n}{3^i}\right].$$所以 $3\mid {\mathrm C}_{2n}^{n}$，即 $a_n=0$．以上说明这个小数的数字存在任意长度的连续的 $0$．
再证明：当 $n=3^k$（$k \in \mathbb N^{\ast}$）时，$a_n \neq 0$，即$$({\mathrm C}_{2n}^{n},3)=1.$$易知，此时有$$\sum \limits_{i=1}^{k}\left[\dfrac {2n}{3^i}\right]>\sum \limits_{i=1}^{k}2\left[\dfrac {n}{3^i}\right],$$所以 $3\nmid {\mathrm C}_{2n}^{n}$，这说明这个小数有无穷多个数字不为 $0$．
综上可知，$0.a_1a_2\cdots a_n \cdots $ 不可能是一个无限循环小数，即它是一个无理数．
再证明：当 $n=3^k$（$k \in \mathbb N^{\ast}$）时，$a_n \neq 0$，即$$({\mathrm C}_{2n}^{n},3)=1.$$易知，此时有$$\sum \limits_{i=1}^{k}\left[\dfrac {2n}{3^i}\right]>\sum \limits_{i=1}^{k}2\left[\dfrac {n}{3^i}\right],$$所以 $3\nmid {\mathrm C}_{2n}^{n}$，这说明这个小数有无穷多个数字不为 $0$．
综上可知，$0.a_1a_2\cdots a_n \cdots $ 不可能是一个无限循环小数，即它是一个无理数．
答案
解析
备注
