题目

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设数列 $\{a_n\}$ 如下定义（$n \geqslant 2$）：$$a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots \sqrt {1+n}}}}}.$$

【难度】

【出处】

2013年清华大学数学金秋营试题

【标注】

证明这个数列严格单调上升且有上界；
标注
答案

略

解析

先证明：$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$．显然 $a_n>1$，且由于$$\begin{align*}
\lvert a_n-3 \rvert
&=\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\
&=\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\
&<\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\
&=\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\
&<\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\
&\vdots\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\
&<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\
&=\dfrac{6}{n+1},\end{align*}$$所以$$|a_n-3| <\dfrac{6}{n+1},$$因此$$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3.$$易知$$\begin{split} a_n&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots \sqrt {1+n}}}}}\\&<\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots \sqrt {1+n\sqrt {1+\sqrt {n+1}}}}}}} \\&=a_{n+1}.\end{split}$$所以数列 $\{a_n\}$ 单调增且有极限，从而数列 $\{a_n\}$ 有上界．
求 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n $．
标注
答案

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$

解析

（1）中已经证明．

题目问题1 答案1 解析1

先证明：$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$．显然 $a_n>1$，且由于$$\begin{align*} \lvert a_n-3 \rvert &=\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\ &=\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\ &<\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\ &=\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\ &<\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\ &\vdots\\ &<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\ &<\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\ &=\dfrac{6}{n+1},\end{align*}$$所以$$|a_n-3| <\dfrac{6}{n+1},$$因此$$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3.$$易知$$\begin{split} a_n&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots \sqrt {1+n}}}}}\\&<\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots \sqrt {1+n\sqrt {1+\sqrt {n+1}}}}}}} \\&=a_{n+1}.\end{split}$$所以数列 $\{a_n\}$ 单调增且有极限，从而数列 $\{a_n\}$ 有上界．