已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们可以证明一个更强的命题：
更强的命题 已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，则 $x_1x_2(x_1+x_2)<2$．
解 令 $t=\dfrac{x_2}{x_1}$，则\[x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},\]于是\[x_1x_2(x_1+x_2)=\dfrac{t(t+1)\ln^3t}{(t-1)^3},\]因此只需要证明\[\dfrac{t(t+1)\ln^3t}{(t-1)^3}>2,\]也即\[\ln t-(t-1)\sqrt[3]{\dfrac{2}{t(t+1)}}<0.\]记\[g(x)=\ln x-(x-1)\sqrt[3]{\dfrac{2}{x(x+1)}},\]则\[\begin{split} g'(x)&=\dfrac{3x^{\frac 13}(1+x)^{\frac 43}-2^{\frac 13}(x^2+4x+1)}{3x^{\frac 4 3 }(1+x)^{\frac 4 3 }}\\
&=\dfrac{A^3-B^3}{3x^{\frac 4 3 }(1+x)^{\frac 4 3 }\cdot \left(A^2+A\cdot B+B^2\right) },\end{split}\]其中\[\begin{cases} A=3x^{\frac 13}(1+x)^{\frac 43},\\
B=2^{\frac 13}(x^2+4x+1),\end{cases}\]而\[A^3-B^3=-(x-1)^4(x+2)(2x+1),\]于是\[g'(x)<0,\]进而\[g(x)<g(1)<0,\]命题得证．
&=\dfrac{A^3-B^3}{3x^{\frac 4 3 }(1+x)^{\frac 4 3 }\cdot \left(A^2+A\cdot B+B^2\right) },\end{split}\]其中\[\begin{cases} A=3x^{\frac 13}(1+x)^{\frac 43},\\
B=2^{\frac 13}(x^2+4x+1),\end{cases}\]而\[A^3-B^3=-(x-1)^4(x+2)(2x+1),\]于是\[g'(x)<0,\]进而\[g(x)<g(1)<0,\]命题得证．
答案
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