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设 $\triangle ABC$ 的三个内角分别为 $A,B,C$．若 $BC$ 的中点为 $M$，证明：$$\cot \angle BAM=2\cot A +\cot B.$$
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量中的常用知识
    >
    平行四边形的性质
【答案】
略
【解析】
引理设 $\triangle ABC$ 中内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则\[\cot A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S},\]其中 $S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积．
证明由于\[\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\sin A=\dfrac{2S}{bc},\]两式相比即得．
回到原题欲证命题即\[\dfrac{c^2+AM^2-\dfrac 14a^2}{2S}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4S},\]其中 $S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积．上述等式即\[(2AM)^2+a^2=2(b^2+c^2),\]根据平行四边形的性质，该等式成立，因此原命题得证．
答案 解析 备注
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