设直线 $l_1: y=\sqrt 3x$，$l_2: y=-\sqrt 3x$．点 $A$ 和点 $B$ 分别在直线 $l_1$ 和 $l_2$ 上运动，且 $\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=-2$．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
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求 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹；标注答案$x^2-\dfrac{y^2}3=1$解析根据题意，$\triangle AOB$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot \sin \angle AOB \cdot |OA|\cdot |OB|=\dfrac 12 \cdot \sin\angle AOB \dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\cos \angle AOB}=\sqrt 3,\]于是根据双曲线的相交直线面积定义，$AB$ 的中点 $M$ 的轨迹是\[\sqrt 3 x^2-\dfrac{y^2}{\sqrt 3}=\sqrt 3,\]即\[x^2-\dfrac{y^2}3=1.\]
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设点 $P(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $Q$，证明：直线 $MQ$ 过定点．标注答案过定点 $F(2,0)$解析根据双曲线的相交直线面积定义，直线 $AB$ 与双曲线 $E:x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 相切于点 $M$．注意到 $P$ 为双曲线的左焦点，根据双曲线的光学性质，直线 $MQ$ 过双曲线的右焦点 $F(2,0)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
