如果整数 $n \geqslant 2$，证明：$$\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<2.$$
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据反伯努利不等式，有\[LHS<{\rm e}^{\frac 1{2^2}+\frac 1{3^2}+\cdots+\frac 1{n^2}},\]又\[\begin{split}\dfrac 1{2^2}+\dfrac 1{3^2}+\cdots+\dfrac 1{n^2}&<\dfrac{1}{2-\dfrac 12}-\dfrac{1}{2+\dfrac 12}+\dfrac{1}{3-\dfrac 12}-\dfrac{1}{3+\dfrac 12}+\cdots+\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\
&<\dfrac 23,\end{split}\]于是\[\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<{\rm e}^{\frac 23}.\]又\[\forall x>1,\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]于是\[\ln 2>\dfrac 23,\]因此原命题得证．
&<\dfrac 23,\end{split}\]于是\[\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<{\rm e}^{\frac 23}.\]又\[\forall x>1,\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]于是\[\ln 2>\dfrac 23,\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
