如图，动点 $ M $ 与两定点 $ A\left(-1,0\right),B\left(1,0\right) $ 构成 $ \triangle MAB $，且直线 $ MA,MB $ 的斜率之积为 $ 4 $．设动点 $ M $ 的轨迹为 $ C $．
【难度】
【出处】
2012年高考四川卷（文）
【标注】
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求轨迹 $ C $ 的方程；标注答案$x^2-\dfrac{y^2}{4}=1,y\ne 0$解析根据双曲线的斜率积定义，所求轨迹 $C$ 的方程为\[x^2-\dfrac{y^2}{4}=1,y\ne 0.\]
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设直线 $ y=x+m\left(m>0\right) $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ P $，与轨迹 $ C $ 相交于点 $ Q,R $，且 $ |PQ|<|PR| $，求 $ {\dfrac{|PR|}{|PQ|}} $ 的取值范围．标注答案$ \left( 1,{\dfrac{5}{3}}\right) \cup \left({\dfrac{5}{3}},3 \right)$解析根据题意，$m$ 的取值范围是 $(0,1)\cup (1,+\infty)$，设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，则\[\lambda=\dfrac{|PR|}{|PQ|}=-\dfrac{x_2}{x_1},\]联立直线 $y=x+m$ 与轨迹 $C$ 的方程可得\[3x^2-2mx-m^2-4=0,\]于是\[4m^2=\left(-\lambda-\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot 3\cdot (-m^2-4),\]从而\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{4m^2}{3(m^2+4)}+2,\]因此 $\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$ 的取值范围是 $\left(2,\dfrac{34}{15}\right)\cup\left(\dfrac{34}{15},\dfrac{10}3\right)$，进而 $\lambda$ 的取值范围是 $ \left( 1,{\dfrac{5}{3}}\right) \cup \left({\dfrac{5}{3}},3 \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
