题目 已知函数 $f(x)=\left \lvert x^2-ax \right \rvert -2$，且函数 $f(x+2)$ 是偶函数． 问题1 求实数 $a$ 的值； 答案1 $4$ 解析1 根据题意，有\[f(x+2)=\left|x^2+(4-a)x+4-2a\right|-2,\]该函数为偶函数，于是 $a=4$． 备注1 问题2 设函数 $y=g(x)$，集合 $M=\{x\mid g(x)-x=0\},N=\{x\mid g(g(x))-x=0\}$．<br/>① 证明：$M\subseteq N$；<br/>② 如果 $g(x)=f(\lvert x \rvert )$，集合 $P=\{x\mid g(g(x))-x=0\land \lvert x \rvert \leqslant 2 \}$，求集合 $P$ 中的元素个数． 答案2 ① 略；② $5$ 解析2 直接看 ②，直接求解方程 $g(g(x))=x$ 显然不明智，如果考虑数形结合，那么函数 $g(g(x))$ 的图象也并不好画．难点主要在于$$g(g(x))=x$$这个式子的左边"穿的衣服"有点多，跟式子的右边形成了鲜明的对比．不患寡而患不均啊!能否脱掉左边的一件衣服给右边穿呢？我们先来证明一个引理：<br/><sol>引理</sol>方程 $g(g(x))=x$ 的根为曲线 $y=g(x)$ 与曲线 $x=g(y)$（这两条曲线关于直线 $y=x$ 对称）的交点的横坐标．<br/><sol>证明</sol>一方面，设 $a$ 是方程 $g(g(x))=x$ 的一个根，即 $g(g(a))=a$．<br/>设 $g(a)=b$，则 $g(b)=g(g(a))=a$，故点 $(a,b)$ 既在曲线 $y=g(x)$ 上，又在曲线 $x=g(y)$ 上，所以 $a$ 是曲线 $y=g(x)$ 与曲线 $x=g(y)$ 的交点的横坐标．<br/>另一方面，设曲线 $y=g(x)$ 与曲线 $x=g(y)$ 的一个交点为 $(a,b)$，则 $g(a)=b$，且 $g(b)=a$．<br/>故 $g(g(a))=g(b)=a$，所以 $a$ 是方程 $g(g(x))=x$ 的一个根．证毕．<br/>下面我们用这个引理来解决此题：作出曲线 $y=g(x)$（红色实线）与曲线 $x=g(y)$（蓝色实线），这两条曲线关于直线 $y=x$（黑色虚线）对称，如下图所示．<img src="/static/images/d095d444e0b962c2c9a468efd8f336fe.png" class="img-responsive" />从图中可以看到，红色实线与蓝色实线共有 $A,B,C,D,E$ 这 $5$ 个交点，所以集合 $P$ 中的元素个数为 $5$． 备注2 每日一题[361]你没有衣服穿，那我脱一件给你．