求证：${\rm e}^x-\ln x > 2.3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数 $f(x)={\rm e}^x-\ln x$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,x>0,$$因此方程 ${\rm e}^x-\dfrac 1x=0$ 的解为函数 $f(x)$ 的极小值点，可以估计出极小值点约为 $0.5$．
取 $y={\rm e}^x$ 在 $x=0.5$ 处的切线，有$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^{0.5}(x-0.5)+{\rm e}^{0.5}={\rm e}^{0.5}x+0.5\cdot{\rm e}^{0.5},$$取 $y=\ln x$ 斜率为 ${\rm e}^{0.5}$ 的切线，切点横坐标为 ${\rm e}^{-0.5}$，于是有$$\ln x\leqslant {\rm e}^{0.5}(x-{\rm e}^{-0.5})-0.5={\rm e}^{0.5}x-1.5,$$因此$${\rm e}^x-\ln x\geqslant 0.5\cdot {\rm e}^{0.5}+1.5.$$由于 ${\rm e}>2.56$，于是 ${\rm e}^{0.5}>1.6$，从而$$0.5\cdot {\rm e}^{0.5}+1.5>2.3.$$
取 $y={\rm e}^x$ 在 $x=0.5$ 处的切线，有$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^{0.5}(x-0.5)+{\rm e}^{0.5}={\rm e}^{0.5}x+0.5\cdot{\rm e}^{0.5},$$取 $y=\ln x$ 斜率为 ${\rm e}^{0.5}$ 的切线，切点横坐标为 ${\rm e}^{-0.5}$，于是有$$\ln x\leqslant {\rm e}^{0.5}(x-{\rm e}^{-0.5})-0.5={\rm e}^{0.5}x-1.5,$$因此$${\rm e}^x-\ln x\geqslant 0.5\cdot {\rm e}^{0.5}+1.5.$$由于 ${\rm e}>2.56$，于是 ${\rm e}^{0.5}>1.6$，从而$$0.5\cdot {\rm e}^{0.5}+1.5>2.3.$$
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