题目 已知函数 $ f\left(x\right)=ax+\dfrac{b}{x}+c\left(a>0\right) $ 的图象在点 $ \left(1,f\left(1\right)\right) $ 处的切线方程为 $ y=x-1 $． 问题1 用 $ a $ 表示出 $ b , c $； 答案1 $(b,c)=(a-1,1-2a)$ 解析1 由题意得 $f'\left(x\right) = a - \dfrac{b}{x^2}$，则有\[{\begin{cases}<br/>f\left(1\right) = a + b + c = 0 ,\\<br/>f'\left(1\right) = a - b = 1 ,\\<br/>\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}b = a - 1 ,\\<br/>c = 1 - 2a. \\<br/>\end{cases}}\] 备注1 问题2 若 $ f\left(x\right)\geqslant \ln x $ 在 $ \left[1,+\infty \right) $ 上恒成立，求 $ a $ 的取值范围． 答案2 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 解析2 由 $(1)$ 知，$$f\left(x\right) = ax + \dfrac{a - 1}{x} + 1 - 2a,$$由 $f(x)\geqslant \ln x$ 得\[ ax + \dfrac{a - 1}{x} + 1 - 2a\geqslant \ln x,\]即\[a\left(x+\dfrac{1}{x}-2\right)\geqslant \ln x+\dfrac{1}{x}-1.\]<case>情形一</case> 当 $x=1$ 时，显然成立；<br/><case>情形二</case> 当 $x>1$ 时，$$a\geqslant \dfrac{\ln x+\dfrac{1}{x}-1}{x+\dfrac{1}{x}-2}=\dfrac{x\ln x+1-x}{(x-1)^{2}},$$设 $h(x)=\dfrac{x\ln x+1-x}{(x-1)^{2}}$，则$$h'(x)=\dfrac{-\ln x-x\ln x-2+2x}{(x-1)^{3}},$$而\[(-\ln x-x\ln x-2+2x)'=-\dfrac{1}{x}-1-\ln x-2<0,\]所以$$-\ln x-x\ln x-2+2x<0,$$即 $h'(x)<0$，所以 $h(x)$ 是单调递减函数．因为\[\begin{split}\lim\limits_{x\to 1}h(x)&=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x\ln x+1-x}{(x-1)^{2}}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x\ln x+1-x}{(x-1)^{2}}\\ &=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{2(x-1)}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{2}=\dfrac{1}{2}.\end{split}\]所以 $a$ 的取值范围为 $a\geqslant \dfrac{1}{2}$． 备注2 问题3 证明：$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} > \ln \left(n + 1\right) + \dfrac{n}{2\left(n + 1\right)}\left(n\geqslant 1\right)$． 答案3 略 解析3 由 $(2)$，当 $x\geqslant 1$，$a\geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，有$$ax+\dfrac{a-1}{x}-2a+1\geqslant \ln x,$$考虑到左边没有关于 $n$ 的一次项以及$$\ln (n+1)=\ln\dfrac{n+1}{n}+\ln\dfrac{n}{n-1}+\cdots+\ln \dfrac{3}{2}+\ln \dfrac{2}{1},$$取 $x=\dfrac{k+1}{k}$，$a=\dfrac{1}{2}$，则\[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{k+1}{k}-\dfrac{k}{k+1}\right)\geqslant \ln \dfrac{k+1}{k},\]所以$$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}\right)\geqslant \ln \dfrac{k+1}{k},$$因此累加，得\[\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{2(n+1)}\geqslant \ln (n+1),\]从而原命题得证． 备注3