题目 设函数 $f(x)={\rm e}^{2x}-a\ln x$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 零点的个数； 答案1 $$\begin{cases} 0,a\leqslant 0,\\1,a>0.\end{cases} $$ 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1x\cdot\left(2x{\rm e}^{2x}-a\right),x>0,$$记函数 $g(x)=2x{\rm e}^{2x}-a$，则 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，其值域为 $(-a,+\infty )$．<br/>当 $a\leqslant 0$ 时，$g(x)>0$，因此 $f'(x)$ 的零点个数为 $0$；<br/>当 $a>0$ 时，$g(x)$ 的值域包含 $0$，且 $g(x)$ 单调递增，因此 $g(x)$ 有唯一零点，进而 $f'(x)$ 的零点个数为 $1$． 备注1 问题2 证明：当 $a>0$ 时，$f(x)\geqslant 2a+a\ln\dfrac{2}{a}$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[\begin{split} f(x)&=\left({\rm e}^{2x}-\lambda x\right)+\left(\lambda x-a \ln x\right)\\<br/>&\geqslant \dfrac 12\lambda -\dfrac 12\lambda \ln \dfrac{\lambda}2+a-a\ln \dfrac a{\lambda},\end{split}\]取 $\lambda=2a$ 即得． 备注2 事实上等号当\[\dfrac 12\ln \dfrac{\lambda}2 =\dfrac a{\lambda}\]时，也即\[\lambda=2{\rm e}^{W(a)}\]时取得．