已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin ^2x\cdot \tan x>x^3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数\[f(x)=\sin^2x\cdot \tan x-x^3,\]则其导函数\[f'(x)=2\sin^2x+\tan ^2x-3x^2,\]二阶导函数\[f''(x)=4\sin x\cos x+\dfrac{2\sin x}{\cos^2x}-6x,\]三阶导函数\[\begin{split} f'''(x)&=4\cos^2x+\dfrac{2}{\cos^4x}-4\sin^2x+\dfrac{4\sin^2x}{\cos^4x}-6\\
&=\left(2\cos^2x+2\cos^2x+\dfrac{2}{\cos^4x}-6\right)+4\sin^2x\cdot \left(\dfrac{1}{\cos^4x}-1\right)\\
&>0,\end{split}\]于是 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，原命题得证．
&=\left(2\cos^2x+2\cos^2x+\dfrac{2}{\cos^4x}-6\right)+4\sin^2x\cdot \left(\dfrac{1}{\cos^4x}-1\right)\\
&>0,\end{split}\]于是 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，原命题得证．
答案
解析
备注
