已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin ^2x\cdot \tan x>x^3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数\[f(x)=\sqrt[3]{\sin^2x\cdot \tan x}-x,\]则其导函数\[\begin{split} f'(x)&=\dfrac{2\sin^2x+\tan^2x}{3\left(\sin ^2x\cdot \tan^2x\right)^{\frac 23}}-1\\
&=\dfrac{\sin^2x+\sin^2x+\tan^2x}{3\left(\sin ^2x\cdot \tan^2x\right)^{\frac 23}}-1\\
&\geqslant 0,\end{split}\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，原命题得证．
&=\dfrac{\sin^2x+\sin^2x+\tan^2x}{3\left(\sin ^2x\cdot \tan^2x\right)^{\frac 23}}-1\\
&\geqslant 0,\end{split}\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，原命题得证．
答案
解析
备注
