题目 已知 $a\in {\mathbb R}$，函数 $f\left(x\right)=\log_2\left(\dfrac 1x+a\right)$． 问题1 当 $a=5$ 时，解不等式 $f\left(x\right)>0$； 答案1 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(0,+\infty\right) $ 解析1 当 $a=5$ 时，原不等式等价于\[\dfrac 1x+5>1,\]即\[\dfrac{1-4x}{x}>0,\]解得\[\left(x<-\dfrac 14\right)\lor \left(x>0\right).\] 备注1 问题2 若关于 $x$ 的方程 $f\left(x\right)-\log_2\left[\left(a-4\right)x+2a-5\right]=0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围； 答案2 $(1,2]\cup\{3,4\}$ 解析2 题中方程即\[\begin{cases} \dfrac 1x+a=(a-4)x+2a-5,\\ \dfrac 1x+a>0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} (x+1)[(a-4)x-1]=0,\\ \dfrac 1x+a>0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} x=-1,\\ -1+a>0,\end{cases}\lor \begin{cases} x=\dfrac 1{a-4},\\ 2a-4>0.\end{cases}\]<case>情形一</case> $-1=\dfrac{1}{a-4}$，即 $a=3$．此时符合题意．<br/><case>情形二</case> $-1\ne \dfrac{1}{a-4}$，即 $a\ne 3$．此时 $a=4$ 或 $1<a\leqslant 2$．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(1,2]\cup\{3,4\}$． 备注2 问题3 设 $a>0$，若对任意 $t\in\left[\dfrac 12,1\right]$，函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[t,t+1\right]$ 上的最大值与最小值的差不超过 $1$，求 $a$ 的取值范围． 答案3 $ \left[\dfrac 23,+\infty\right) $ 解析3 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，于是问题等价于$$\forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],f(t)-f(t+1)\leqslant 1,$$也即$$\forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],a\geqslant \dfrac{1-t}{t^2+t}.$$当 $t=1$ 时，上式显然成立．<br/>当 $t\in\left[\dfrac 12,1\right)$，也即 $1-t\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 时，有$$\dfrac{1-t}{t^2+t}=\dfrac{1-t}{(1-t)^2-3(1-t)+2}=\dfrac{1}{(1-t)+\dfrac{2}{1-t}-3}\leqslant \dfrac 23 ,$$等号当 $t=\dfrac 12$ 时取得．因此 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty\right)$． 备注3