无

略

对 $n$ 归纳
情形一 当 $n=1$ 时，由中国剩余定理，存在无穷多个 $k$ 使得$$k\equiv a\pmod{p}, k\equiv 1\pmod{p-1}.$$那么由 $(a,p)=1$ 可知 $(k,p)=1$，由 $\mathrm{Fermat}$ 小定理可知$$k^{p-1}\equiv 1\pmod{p},$$从而$$k^k\equiv k\equiv a\pmod{p},$$情形二设命题对 $n-1(n\geqslant 2)$ 成立，则存在 $k_0$ 使得$$p^{n-1}\mid (k_0^{k_0}-a),$$设 $k_0^{k_0}=a+sp^{n-1}$，$s\in\mathbb N^\ast.$ 由 $(a,p)=1$ 可知 $(k_0,p)=1$，取$$k=k_0+mp^{n-1}(p-1),$$其中 $m$ 为待定正整数，则$$k\equiv k_0-mp^{n-1}\pmod{p^n},k\equiv k_0\pmod{p^{n-1}(p-1)},$$注意 $\varphi (p^n)=p^{n-1}(p-1)$，$(k,p)=1$，由 $\mathrm{Euler}$ 定理$$\begin{split} k^k&\equiv (k_0-mp^{n-1})^{k_0}\\
&\equiv k_0^{k_0}-k_0^{k_0-1}\cdot mp^{n-1}\cdot k_0\\
&\equiv k_0^{k_0}(1-mp^{n-1})\\
&\equiv (a+sp^{n-1})(1-mp^{n-1}) \pmod{p^n} .\end{split}$$所以$$k^k-a\equiv (s-am)p^{n-1}\pmod{p^n},$$由 $(a,p)=1$ 知存在无穷多个 $m$ 使 $am\equiv s\pmod{p},$ 对应得到无穷多个 $k$ 使得$$p^n\mid (k^k-a).$$