给定正整数 $m,n$，实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$ 及正实数 $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_n$ 在 $n\times m$ 方格表的第 $i$ 行与第 $j$ 列相交处填入实数 $\dfrac{a_i+b_j}{c_i+d_j},1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n$，求证：该方格表中存在一个方格，它是所在行中的最小数，也是所在列中的最大数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考察每行中的最小数（若有并列最小则任选一个），这 $n$ 个数取最大的一个为 $A$（若有并列最大则任选一个），设 $A$ 在第 $k$ 行第 $l$ 列，假设 $A$ 不满足条件，则 $A$ 不是第 $l$ 列最大数，设第 $l$ 列最大数在 $k'$ 行，为 $B$，则 $B>A$，再考察第 $k'$ 行最小数，它不能是 $B$．
设第 $k'$ 行最小数在第 $l'$ 列，为 $C$，则 $A\geqslant C$．
设第 $k$ 行第 $l'$ 列的数为 $D$，那么 $D\geqslant A$，由定义$$A=\dfrac{a_k+b_l}{c_k+d_l},B=\dfrac{a_{k'}+b_{l}}{c_{k'}+d_{l}},C=\dfrac{a_{k'}+b_{l'}}{c_{k'}+d_{l'}},D=\dfrac{a_k+b_{l'}}{c_k+d_{l'}},$$由于$$\begin{split} &B>A \Leftrightarrow (a_{k'}+b_l)(c_k+d_{l})>(a_k+b_l)(c_{k'}+d_l),\\
&B>C\Leftrightarrow (a_{k'}+b_l)(c_{k'}+d_{l'})>(a_{k'}+b_{l'})(c_{k'}+d_l),\\
&D\geqslant A\Leftrightarrow (a_k+b_{l'})(c_k+d_{l})\geqslant (a_k+b_l)(c_k+d_{l'}),\\
&D\geqslant C\Leftrightarrow (a_k+b_{l'})(c_{k'}+d_{l'})\geqslant (a_{k'}+b_{l'})(c_k+d_{l'}),
\end{split}$$四式相加，即得矛盾．
设第 $k'$ 行最小数在第 $l'$ 列，为 $C$，则 $A\geqslant C$．
设第 $k$ 行第 $l'$ 列的数为 $D$，那么 $D\geqslant A$，由定义$$A=\dfrac{a_k+b_l}{c_k+d_l},B=\dfrac{a_{k'}+b_{l}}{c_{k'}+d_{l}},C=\dfrac{a_{k'}+b_{l'}}{c_{k'}+d_{l'}},D=\dfrac{a_k+b_{l'}}{c_k+d_{l'}},$$由于$$\begin{split} &B>A \Leftrightarrow (a_{k'}+b_l)(c_k+d_{l})>(a_k+b_l)(c_{k'}+d_l),\\
&B>C\Leftrightarrow (a_{k'}+b_l)(c_{k'}+d_{l'})>(a_{k'}+b_{l'})(c_{k'}+d_l),\\
&D\geqslant A\Leftrightarrow (a_k+b_{l'})(c_k+d_{l})\geqslant (a_k+b_l)(c_k+d_{l'}),\\
&D\geqslant C\Leftrightarrow (a_k+b_{l'})(c_{k'}+d_{l'})\geqslant (a_{k'}+b_{l'})(c_k+d_{l'}),
\end{split}$$四式相加，即得矛盾．
答案
解析
备注
