给定正整数 $m,n$，实数 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$ 及正实数 $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_n$ 在 $n\times m$ 方格表的第 $i$ 行与第 $j$ 列相交处填入实数 $\dfrac{a_i+b_j}{c_i+d_j},1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n$，求证：该方格表中存在一个方格，它是所在行中的最小数，也是所在列中的最大数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑所有的 $\dfrac{a_id_j-b_jc_i}{c_i+d_j},i=1,2,\cdots,m$，取其中最大的设为 $\dfrac{a_kd_l-b_lc_k}{c_k+d_l}$，由于对 $j\neq l$，$$\dfrac{a_kd_l-b_lc_k}{c_k+d_l}\geqslant \dfrac{a_id_j-b_jc_i}{c_i+d_j},$$即有$$\dfrac{a_k+b_l}{c_k+d_l}\leqslant \dfrac{a_k+b_j}{c_k+d_j},$$故 $\dfrac{a_k+b_l}{c_k+d_l}$ 为第 $k$ 行最小数．而对于 $i\neq k$，有$$\dfrac{a_kd_l-b_lc_k}{c_k+d_l}\geqslant \dfrac{a_id_l-b_lc_i}{c_i+d_l}.$$即有$$\dfrac{a_k+b_l}{c_k+d_l}\geqslant \dfrac{a_i+b_l}{c_i+d_l},$$故它为第 $l$ 行最大数．
答案
解析
备注
