求 $\sin 22.5^\circ-\sin 67.5^\circ$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}$
【解析】
令$$\begin{split}t&=\sin 22.5^\circ-\sin 67.5^\circ\\ &=\sin 22.5^\circ-\cos 22.5^\circ<0,\end{split}$$因为\[\begin{split}t^2
&=\left(\sin 22.5^\circ-\cos 22.5^\circ\right)^2\\
&=1-2\sin 22.5^\circ\cos 22.5^\circ\\
&=1-\sin 45^\circ\\
&=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{4},
\end{split}\]所以\[t=\sin 22.5^\circ-\sin 67.5^\circ=-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}.\]
&=\left(\sin 22.5^\circ-\cos 22.5^\circ\right)^2\\
&=1-2\sin 22.5^\circ\cos 22.5^\circ\\
&=1-\sin 45^\circ\\
&=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{4},
\end{split}\]所以\[t=\sin 22.5^\circ-\sin 67.5^\circ=-\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}.\]
答案
解析
备注
