题目 已知函数 $f(x)=x^2+ax+\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线过点 $\left(\dfrac 12,0\right)$． 问题1 求函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程； 答案1 $y=4x-2$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x+a+\dfrac 1x,\]于是它在 $x=1$ 处的切线方程为\[y=1+a+(3+a)(x-1),\]该切线过点 $\left(\dfrac 12,0\right)$，解得 $a=1$，于是所求切线方程为\[y=4x-2.\] 备注1 问题2 若正实数 $x_1,x_2$ 满足 $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1x_2}=-1$，求证：$x_1+x_2>\dfrac 89$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[\dfrac{\left(x_1^2+x_1+\ln x_1\right)+\left(x_2^2+x_2+\ln x_2\right)}{x_1x_2}=-1,\]也即\[x_1^2+x_2^2+x_1+x_2+\ln (x_1x_2)+x_1x_2=0,\]也即\[(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)+\ln(x_1x_2)-x_1x_2=0.\]<case>情形一</case> $x_1x_2\geqslant 1$，则\[x_1+x_2\geqslant 2\sqrt{x_1x_2}\geqslant 2>\dfrac 9{10},\]命题成立．<br/><case>情形二</case> $0<x_1x_2<1$．此时考虑到 $y=\ln x-x$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，于是\[(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)+\ln \left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)^2-\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)^2\geqslant 0,\]也即\[3t^2+2t+2\ln t\geqslant 0,\]其中 $t=\dfrac{x_1+x_2}2$．设函数\[\varphi(x)=3x^2+2x+2\ln x,\]则函数 $\varphi(x)$ 单调递增．由于\[\varphi(x)<3x^2+2x+8\cdot \dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1},\]当 $x=\dfrac 49$ 时，可得\[\varphi\left(\dfrac 49\right)<-\dfrac{16}{135},\]于是\[x_1+x_2>\dfrac 89.\] 备注2 <case>注一</case> $x_1+x_2$ 的下确界约为 $0.91961\cdots$，题中的结果约为 $0.88888\cdots$．<br/><case>注二</case>可以直接放缩\[(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-1\geqslant 0,\]从而\[x_1+x_2>\dfrac{-1+\sqrt 5}2=0.61803\cdots.\]<case>注三</case>考虑到取等时 $x_1x_2$ 约为 $\dfrac{16}{81}$，调整为\[(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)+4x_1x_2=5x_1x_2-\ln (x_1x_2),\]而\[5x_1x_2-\ln (x_1x_2)\geqslant 1+\ln 5,\]于是\[2(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)\geqslant 1+\ln 5,\]解得\[x_1+x_2\geqslant\dfrac{\sqrt{9+8\ln 5}-1}4=0.91928\cdots.\]