已知函数 $f(x)=x\ln x+ax^2$（$a\ne 0$）存在唯一极值点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求实数 $a$ 的取值范围；标注答案$(0,+\infty)$解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1+\ln x+2ax,\]其二阶导函数\[f''(x)=\dfrac 1x+2a.\]
情形一 $a>0$．此时 $f'(x)$ 单调递增，而\[f'(x)<1+2\left(\sqrt x-1\right)+2ax,\]于是取 $x_0=\left(\dfrac{-2+\sqrt{4+8a}}{4a}\right)^2$，则\[f'(x_0)<0,\]又\[f(1)=2a+1>0,\]于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一变号零点，也即函数 $f(x)$ 存在唯一极小值点，符合题意．情形二 $a<0$．此时 $f'(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac{1}{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac{1}{2a},+\infty\right)$ 上单调递减，在 $x=-\dfrac{1}{2a}$ 时取得极大值，亦为最大值\[f'\left(-\dfrac{1}{2a}\right)=\ln\left(-\dfrac{1}{2a}\right),\]考虑到此时\[f(x)<1+\ln x\]于是当 $x_1=\min\left\{-\dfrac{1}{4a},\dfrac{1}{\rm e}\right\}$ 时，有\[f(x_1)<0,\]又\[f(x)<2ax+2\sqrt x-1,\]于是当 $x_2=\max\left\{-\dfrac{1}{a},\dfrac{-2+\sqrt{4+8a}}{4a}\right\}$ 时，有\[f(x_2)<0,\]于是函数 $f'(x)$ 或者在 $(0,+\infty)$ 上没有零点，或者有一个同号零点，或者有两个变号零点，均不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$． -
求证：函数 $y=f(f(x))$ 与 $y=f(x)$ 的值域相同．标注答案略解析只需要证明 $f(x)$ 的值域包含 $f(x)$ 的定义域．事实上，设函数 $f(x)$ 的极小值点为 $m$，则\[1+\ln m+2am=0,\]其极小值，亦为最小值为\[\begin{split} f(m)&=m\ln m+am^2\\&=m(-1-2am)+am^2\\
&=-m-am^2\\
&<0,\end{split}\]于是函数 $f(x)$ 的值域包含 $(0,+\infty)$，命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
