设函数 $ f\left(x\right) = {x^3} - k {x^2} + x \left(x \in {\mathbb{R}} \right) $．
【难度】
【出处】
2013年高考广东卷（文）
【标注】
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当 $k = 1$ 时，求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( - \infty , +\infty \right)$，没有单调递减区间解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3x^2-2kx+1,\]当 $k=1$ 时，有 $f'(x)>0$，于是函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( - \infty , +\infty \right)$，没有单调递减区间．
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当 $k < 0$ 时，求函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[k, - k\right]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$．标注答案$m = k$，$M = - 2{k^3} - k$解析先计算端点．\[\begin{array} {c|cc}\hline
x&k&-k\\ \hline
f(x)&k&-2k^3-k\\ \hline
f'(x)&k^2+1&5k^2+1\\ \hline \end{array}\]注意到 $f'(x)$ 的对称轴为 $x=\dfrac k3$，而 $\dfrac k3\in [k,-k]$，于是需要考虑判别式\[\Delta=4(k^2-3).\]情形一 $k\in \left[-\sqrt 3,0\right)$．此时 $f(x)$ 在 $[k,-k]$ 上单调递增，于是\[\begin{split} m&=f(k)=k,\\
M&=f(-k)=-2k^3-k.\end{split}\]情形二 $k<-\sqrt 3$．此时函数 $f(x)$ 有两个极值点\[x_1=\dfrac{k-\sqrt{k^2-3}}{3},x_2=\dfrac{k+\sqrt{k^2-3}}3,\]于是\[\begin{array} {c|ccccccc}\hline
x&k&(k,x_1)&x_1&(x_1,x_2)&x_2&(x_2,-k)&-k\\ \hline
f'(x)&&+&0&-&-&+&\\ \hline
f(x)&k&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow&{\rm lmin}&\nearrow&-2k^3-k\\ \hline\end{array}\]于是\[\begin{split} m &= \min \left\{ {f\left(k\right),f\left({x_2}\right)} \right\}, \\ M &= \max \left\{ {f\left({x_1}\right),f\left( - k\right)} \right\}.\end{split} \]因为\[\begin{split} f\left({x_2}\right) - f\left(k\right) &= x_2^3 - kx_2^2 + {x_2} - k \\ & = \left({x_2} - k\right)\left( {x_2^2 + 1} \right) \\ & > 0,\end{split} \]所以 $f\left({x_2}\right) > f\left(k\right)$，所以\[m = f\left(k\right) = k.\]又因为\[\begin{split} f\left({x_1}\right) - f\left( - k\right) &= x_1^3 - kx_1^2 + {x_1} - \left( - 2{k^3} - k\right) \\ &= \left(x_1^3 + {k^3}\right) - \left(kx_1^2 - {k^3}\right) + \left({x_1} + k\right) \\ &= \left({x_1} + k\right)\left[\left(x_1^2 - k{x_1} + {k^2}\right) - k\left({x_1} - k\right) + 1\right] \\ & = \left({x_1} + k\right)\left[{\left({x_1} - k\right)^2} + {k^2} + 1\right] \\ & < 0,\end{split} \]所以 $f\left({x_1}\right) < f\left( - k\right)$，所以\[M = f\left( - k\right) = - 2{k^3} - k.\]综上所述，有 $m = k$，$M = - 2{k^3} - k$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
