判断函数 $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{x+k-1}{x+k}$ 的图象是否是中心对称图形，如果是，请给出对称中心并证明；如果不是，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
关于 $\left(-\dfrac{n+1}2,n\right)$ 中心对称
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为\[\{ x\mid x\in\mathbb R,x\ne -1,-2,\cdots,-n\},\]因此定义域关于 $x=-\dfrac{n+1}2$ 对称，且\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=n,\]因此函数 $f(x)$ 的对称中心只可能是 $\left(-\dfrac{n+1}2,n\right)$．考虑到\[\begin{split} \dfrac{x+k-1}{x+k}+\dfrac{x+n-k}{x+n-k+1}&=2-\dfrac{1}{x+k}-\dfrac{1}{x+n-k+1}\\
&=2-\dfrac{2x+n+1}{x^2+(n+1)x+k(n-k+1)}\\
&=2-\dfrac{2\cdot\left(x+\dfrac{n+1}2\right)}{\left(x+\dfrac{n+1}2\right)^2+k(n-k+1)-\dfrac 14(n+1)^2},\end{split}\]于是函数 $f(x)$ 是中心对称函数，且对称中心为 $\left(-\dfrac{n+1}2,n\right)$．
&=2-\dfrac{2x+n+1}{x^2+(n+1)x+k(n-k+1)}\\
&=2-\dfrac{2\cdot\left(x+\dfrac{n+1}2\right)}{\left(x+\dfrac{n+1}2\right)^2+k(n-k+1)-\dfrac 14(n+1)^2},\end{split}\]于是函数 $f(x)$ 是中心对称函数，且对称中心为 $\left(-\dfrac{n+1}2,n\right)$．
答案
解析
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