已知方程 $1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots-\dfrac{x^{2018}}{2018}=0$ 的所有实数根都在区间 $[a,b]$ 内（其中 $a,b\in\mathbf Z$，且 $a<b$），则 $b-a$ 的最小值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots-\dfrac{x^{2018}}{2018}$，则 $f^\prime(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{2017}$．
当 $x<1$ 时，$f^\prime(x)=1-x+x^2(1-x)+\cdots+x^{2016}(1-x)>0$，故 $f(x)$ 为增函数；
当 $x=1$ 时，$f^\prime(x)=0$；
当 $x>1$ 时，$f^\prime(x)=1-x+x^2(1-x)+\cdots+x^{2016}(1-x)<0$，故 $f(x)$ 为减函数．
注意到：$f(-1)=1-1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\cdots-\dfrac{1}{2018}<0$，$f(0)=1>0$，$f(1)=1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+\cdots+(\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018})>0$，$f(2)=1+(2-\dfrac{2^2}{2})+(\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{2^4}{4})+\cdots+(\dfrac{2^{2017}}{2017}-\dfrac{2^{2018}}{2018})=1+0+(\dfrac{8}{3}-4)+\cdots+(\dfrac{2^{2017}}{2017}-\dfrac{2^{2018}}{2018})<0$，所以，$f(x)$ 仅有两个零点，它们分别在 $(-1,0)$ 与 $(1,2)$ 上．因此 $a\leqslant -1,b\geqslant 2$，从而 $b-a\geqslant 3$．当 $a=-1,b=2$ 时可取等号．所以 $b-a$ 的最小值为 $3$．
当 $x<1$ 时，$f^\prime(x)=1-x+x^2(1-x)+\cdots+x^{2016}(1-x)>0$，故 $f(x)$ 为增函数；
当 $x=1$ 时，$f^\prime(x)=0$；
当 $x>1$ 时，$f^\prime(x)=1-x+x^2(1-x)+\cdots+x^{2016}(1-x)<0$，故 $f(x)$ 为减函数．
注意到：$f(-1)=1-1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}-\cdots-\dfrac{1}{2018}<0$，$f(0)=1>0$，$f(1)=1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+\cdots+(\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018})>0$，$f(2)=1+(2-\dfrac{2^2}{2})+(\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{2^4}{4})+\cdots+(\dfrac{2^{2017}}{2017}-\dfrac{2^{2018}}{2018})=1+0+(\dfrac{8}{3}-4)+\cdots+(\dfrac{2^{2017}}{2017}-\dfrac{2^{2018}}{2018})<0$，所以，$f(x)$ 仅有两个零点，它们分别在 $(-1,0)$ 与 $(1,2)$ 上．因此 $a\leqslant -1,b\geqslant 2$，从而 $b-a\geqslant 3$．当 $a=-1,b=2$ 时可取等号．所以 $b-a$ 的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
