如图，锐角三角形 $ABC$ 外心为 $O$，$\triangle OAB$，$\triangle OAC$ 的外接圆分别为 $\odot O_1$，$\odot O_2$，$\odot O_1$ 与直线 $BC$ 交于 $B$，$D$ 两点，$\odot O_2$ 与直线 $BC$ 交于 $C$，$E$ 两点，线段 $BC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $F$，已知 $ \triangle ADE$ 的外心 $G$ 在 $AC$ 上．求证：$O_1$，$O_2$，$F$ 三点共线．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，$\triangle ADE$ 的外心 $G$ 满足$$\angle GAD=90^{\circ}-\dfrac 12\angle AGD=90^{\circ}-\angle AED,$$故 $G$ 在 $AC$ 上，则$$90^{\circ}-\angle AED=\angle CAD.$$而由 $D$，$O$，$A$，$B$ 四点共圆，$E$，$C$，$O$，$A$ 四点共圆，知 $\angle AED=180^{\circ}-\angle AOC $，$$\angle ACD= \angle OAC+\angle OAD=\angle OAC+\angle OBC.$$而 $\angle AOC=2\angle ABC$，$\angle OAC=90^{\circ}-\angle ABC$，$\angle OBC=90^{\circ}-\angle BAC$，故$$90^{\circ}-\angle AED=2\angle ABC-90^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=\angle ACB. $$即$$2\angle ABC=90^{\circ}+\angle ACB.\cdots\cdots(*)$$再考虑点 $F$，它在 $BC$ 垂直平分线上，故 $OF \perp BC$，而 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 的公共弦为 $AO$，故 $O_1O_2$ 垂直平分线段 $AO$．设 $O_1O_2$ 与 $AC$ 交于 $F'$，则$$F'A=F'O,$$进而$$\angle OF'C=2\angle OAC=2(90^{\circ}-\angle ABC)=180^{\circ}-2\angle ABC=90^{\circ}-\angle ACB.$$从而$$OF'\perp BC,$$故 $F$ 与 $F'$ 重合，即 $O_1$，$O_2$，$F$ 三点共线．
答案
解析
备注
