对任意正整数 $n$，定义 $Z(n)$ 为使得 $1+2+\cdots+m$ 是 $n$ 的倍数的最小正整数 $m$．关于下列三个命题：
① 若 $p$ 为奇质数，则 $Z(p)=p-1$；
② 对任意正整数 $a$，都有 $Z(2^a)>2^a$；
③ 对任意正整数 $a$，都有 $Z(3^a)=3^a-1$．
其中所有真命题的序号为 \((\qquad)\) ．
① 若 $p$ 为奇质数，则 $Z(p)=p-1$；
② 对任意正整数 $a$，都有 $Z(2^a)>2^a$；
③ 对任意正整数 $a$，都有 $Z(3^a)=3^a-1$．
其中所有真命题的序号为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
注意到 $1+2+\cdots+m=\dfrac{m(m+1)}{2}$．
在 ① 中，使得 $p\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$，即 $2p\bigg|m(m+1)$，注意到 $p$ 为奇质数，有 $p\bigg|m$ 或者 $p\bigg|m+1$，从而 $m$ 的最小值为 $p-1$，因此 ① 正确．
在 ② 中，由 $2^a\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$ 知 $2^{a+1}\bigg|m(m+1)$，注意到 $(m,m+1)=1$，于是有 $2^{a+1}\bigg|m$ 或者 $2^{a+1}\bigg|(m+1)$，故 $Z(2^a)=2^{a+1}-1>2^a$，因此 ② 正确．
在 ③ 中，由 $3^a\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$ 知 $2\cdot3^a\bigg|m(m+1)$，注意到 $2\bigg|m(m+1)$ 及 $(2,3)=1$，因此等价于 $ 3^{a}\bigg|m(m+1)$，又注意到 $(m,m+1)=1 $，于是有 $ 3^{a}\bigg|m $ 或者 $ 3^a\bigg|m+1 $，故 $ Z(3^a)=3^{a}-1$，因此 ③ 正确．
在 ① 中，使得 $p\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$，即 $2p\bigg|m(m+1)$，注意到 $p$ 为奇质数，有 $p\bigg|m$ 或者 $p\bigg|m+1$，从而 $m$ 的最小值为 $p-1$，因此 ① 正确．
在 ② 中，由 $2^a\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$ 知 $2^{a+1}\bigg|m(m+1)$，注意到 $(m,m+1)=1$，于是有 $2^{a+1}\bigg|m$ 或者 $2^{a+1}\bigg|(m+1)$，故 $Z(2^a)=2^{a+1}-1>2^a$，因此 ② 正确．
在 ③ 中，由 $3^a\bigg|\dfrac{m(m+1)}{2}$ 知 $2\cdot3^a\bigg|m(m+1)$，注意到 $2\bigg|m(m+1)$ 及 $(2,3)=1$，因此等价于 $ 3^{a}\bigg|m(m+1)$，又注意到 $(m,m+1)=1 $，于是有 $ 3^{a}\bigg|m $ 或者 $ 3^a\bigg|m+1 $，故 $ Z(3^a)=3^{a}-1$，因此 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
