已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和圆 $O:x^2+y^2=b^2$，过椭圆上一点 $P$ 引圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$．设直线 $AB$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $M,N$，求证：$\dfrac{a^2}{\left|ON\right|^2}+\dfrac{b^2}{\left|OM\right|^2}$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac{a^2}{b^2}$
【解析】
设点 $P$ 坐标为 $\left(x_0,y_0\right)$，则直线 $AB$ 的方程为 $x_0x+y_0y=b^2$．令 $x=0$，有\[\left|ON\right|=\dfrac{b^2}{\left|y_0\right|},\]令 $y=0$，有\[\left|OM\right|=\dfrac{b^2}{\left|x_0\right|},\]故\[\dfrac{a^2}{\left|ON\right|^2}+\dfrac{b^2}{\left|OM\right|^2}=\dfrac{a^2}{b^2}.\]
答案
解析
备注
