题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2+(a+1)x-1$ 的定义域为 $(0,1)$，其中 $a\in\mathbb R$． 问题1 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导数，讨论 $g(x)$ 的单调性； 答案1 <case>情形一</case> $a\leqslant \dfrac 12$．此时 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增；<br/><case>情形二</case> $\dfrac 12<a<\dfrac{\rm e}2$．此时 $g(x)$ 在 $(0,\ln(2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(2a),1)$ 上单调递增；<br/><case>情形三</case> $a\geqslant\dfrac{\rm e}2$．此时 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减 解析1 根据题意，有\[g(x)=f'(x)={\rm e}^x-2ax+a+1,\]进而 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^x-2a,\]于是讨论分界点为 $a=\dfrac 12,\dfrac{{\rm e}}2$． 备注1 问题2 若关于 $x$ 的方程 $f(x)={\rm e}x$ 在 $(0,1)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $({\rm e}-2,1)$ 解析2 设函数\[h(x)={\rm e}^x-ax^2+(a+1)x-1,\]则其导函数\[h'(x)={\rm e}^x-2ax+a+1-{\rm e},\]注意到\[h(0)=h(1)=0,\]而 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 内有零点，于是 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 内必然有两个极值点．注意到\[h'(0)=a+2-{\rm e},h'(1)=-a+1,\]结合第 $(1)$ 小题的结果，可得\[{\rm e}-2<a<1,\]此时 $h'(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的的极小值，亦为最小值是\[\begin{split} h'(\ln (2a))&=2a-2a\ln (2a)+a+1-{\rm e}\\<br/>&\leqslant 2a-2a\left(1-\dfrac{1}{2a}\right)+a+1-{\rm e}\\<br/>&=a+2-{\rm e}\\<br/>&<0,\end{split}\]于是当 $a\in ({\rm e}-2,1)$ 时，$h(x)$ 在 $(0,1)$ 上有两个极值点，进而有一个零点，符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $({\rm e}-2,1)$． 备注2